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Lineare Algebra

Eigenwerte berechnen

Eigenwerte berechnet man mit der charakteristischen Gleichung.

Die Eigenwerte einer Matrix berechnet man über die charakteristische Gleichung.

det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0

Gegebene Matrix

Man betrachte eine quadratische Matrix AA.

A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}

1. Matrix vorbereiten

Von der Matrix AA wird λ\lambda auf der Diagonalen abgezogen.

det⁡(1−λ234−λ)=0\det\begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 3 & 4 - \lambda \end{pmatrix} = 0

2. Determinante berechnen

Man berechnet die Determinante der Matrix und multipliziert (falls nötig) aus.

(1−λ)(4−λ)−6=0(1 - \lambda)(4 - \lambda) - 6 = 0
λ2−5λ−2=0\lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0

3. Gleichung lösen

Nun kann man (z.B. mithilfe der PQ-Formel) die Eigenwerte ausrechnen.

λ1,2=5±332\lambda_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}