MathSloth

Um einen Eigenvektor zu berechnen, braucht man zuerst den zugehörigen Eigenwert.

Danach sucht man alle Vektoren $v$ , die durch die Matrix nur skaliert werden.

Grundgleichung

A \cdot v = \lambda \cdot v

Diese Gleichung formt man so um, dass auf der rechten Seite der Nullvektor steht.

(A - \lambda I) \cdot v = 0

Vorgehen

1. Setze den Eigenwert $\lambda$ in $A - \lambda I$ ein.

2. Löse das Gleichungssystem $(A - \lambda I) \cdot v = 0$ .

3. Jeder nicht negative Nullvektor aus der Lösungsmenge ist ein Eigenvektor.

Beispiel

Gegeben sei die Matrix

A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}

Für den Eigenwert $\lambda = 2$ berechnet man:

A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Nun löst man:

\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}

Daraus folgt:

y = 0

Also haben alle Eigenvektoren zu $\lambda = 2$ die Form:

v = \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix},\quad x \neq 0

Merksatz

Eigenvektoren entstehen als nicht triviale Lösungen des Gleichungssystems $(A - \lambda I) \cdot v = 0$ .