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Komplexe Zahlen - Komplexe Funktionen - Möbiustransformation

Möbiustransformation

Eine Möbiustransformation ist eine spezielle Funktion mit komplexen Zahlen. Sie hat immer dieselbe Grundform.

Definition

Eine Funktion heißt Möbiustransformation, wenn sie die Form

f(z)=az+bcz+df(z)=\frac{az+b}{cz+d}

besitzt, wobei a,b,c,d∈Ca,b,c,d \in \mathbb{C} gilt.

Wichtige Bedingung

Zusätzlich muss gelten:

Ohne diese Eigenschaft würde die Funktion zu einer konstanten Funktion zusammenfallen.

Besonderheit

Eine Möbiustransformation nimmt eine komplexe Zahl zz und bildet sie durch einen Bruch aus zwei linearen Ausdrücken wieder auf eine komplexe Zahl ab.

z↦az+bcz+dz \mapsto \frac{az+b}{cz+d}