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Komplexe Zahlen - Komplexe Funktionen - Holomorph

Holomorphie prüfen

Um zu prüfen, ob eine Funktion holomorph ist, zerlegt man sie in Realteil und Imaginärteil und prüft anschließend die Cauchy Riemann Gleichungen.

Schritt für Schritt

Beispiel an der Funktion f(z)=z²

01

Komplexe Zahl ersetzen

Setze für z die Darstellung x + iy ein.

z=x+iyz = x + iy
f(z)=z2=(x+iy)2f(z) = z^2 = (x + iy)^2
02

Funktion umschreiben

Schreibe die Funktion so um, dass Realteil und Imaginärteil getrennt sichtbar sind.

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z) = u(x,y) + i v(x,y)
(x+iy)2=x2+2ixy+i2y2(x + iy)^2 = x^2 + 2ixy + i^2y^2
(x+iy)2=x2−y2+i(2xy)(x + iy)^2 = x^2 - y^2 + i(2xy)
u(x,y)=x2−y2u(x,y) = x^2 - y^2
v(x,y)=2xyv(x,y) = 2xy
03

Partielle Ableitungen bilden

Bilde die partiellen Ableitungen von u und v nach x und y.

ux, uy, vx, vyu_x,\ u_y,\ v_x,\ v_y
ux=2xu_x = 2x
uy=−2yu_y = -2y
vx=2yv_x = 2y
vy=2xv_y = 2x
04

Cauchy Riemann Gleichungen prüfen

Prüfe, ob die beiden Gleichungen erfüllt sind.

ux=vyunduy=−vxu_x = v_y \quad \text{und} \quad u_y = -v_x
ux=vyu_x = v_y
2x=2x2x = 2x
uy=−vxu_y = -v_x
−2y=−2y-2y = -2y

Merke

Sind die Cauchy Riemann Gleichungen in einer Umgebung erfüllt und sind die partiellen Ableitungen dort stetig, dann ist die Funktion dort holomorph.

Ergebnis

f(z)=z2textistholomorph.f(z) = z^2 \\text{ ist holomorph.}