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Analysis - Taylorreihen

Taylorpolynom vs. Taylorreihe

Das Taylorpolynom nimmt nur einige Terme, die Taylorreihe nimmt alle Terme.

Taylorpolynom

endlich

Nur eine feste Anzahl von Termen. Dadurch entsteht ein echtes Polynom.

Tn(x)=∑k=0nf(k)(x0)k!(x−x0)kT_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k

Bedeutung

Die obere Grenze n ist endlich. Deshalb enthält das Taylorpolynom nur endlich viele Terme.

Taylorreihe

unendlich

Alle Taylor Terme werden addiert. Die Summe läuft bis unendlich.

Tn(x)=lim⁡n→∞∑k=0nf(k)(x0)k!(x−x0)kT_n(x)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k

Bedeutung

Der Grenzwert für n gegen unendlich enthält theoretisch alle Taylor Terme. Deshalb ist die Taylorreihe eine unendliche Summe.

Merksatz

Ein Taylorpolynom ist eine endliche Näherung. Die Taylorreihe ist der Grenzwert der Taylorpolynome für unendlich viele Terme.