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Analysis - Taylorreihen

Vom Muster zur Reihendarstellung

Hier siehst du kurz und konkret, wie man aus den ersten Sinus Termen die Summenformel bildet.

Aus dem allgemeinen Term wird die Reihendarstellung

Jetzt wird das Muster als Summe geschrieben

Terme betrachten

x−x33!+x55!−x77!+…x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots

Muster erkennen

Reihendarstellung

sin⁡(x)=∑k=0∞(−1)kx2k+1(2k+1)!\sin(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}

Kontrolle am Index

k=0:(−1)0x11!=xk=0:\quad (-1)^0\frac{x^{1}}{1!}=x
k=1:(−1)1x33!=−x33!k=1:\quad (-1)^1\frac{x^{3}}{3!}=-\frac{x^3}{3!}
k=2:(−1)2x55!=x55!k=2:\quad (-1)^2\frac{x^{5}}{5!}=\frac{x^5}{5!}