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Analysis - Taylorreihen

Taylorpolynome bilden

Die Summenschreibweise fasst alle Taylor Terme in einer kompakten Formel zusammen.

Grundidee

Mit dieser Formel lassen sich Taylorpolynome bilden

Allgemeine Form

Tn(x)=∑k=0nf(k)(x0)k!(x−x0)kT_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}{(x-x_0)^k}

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Erklärung

Summenzeichen

Das Summenzeichen bedeutet: Setze nacheinander k = 0, 1, 2, ..., n ein und addiere alle entstehenden Terme.

∑k=0n\sum_{k=0}^{n}

Beispiel

Taylorpolynom von sin⁡(x)\sin(x) bei x0=0x_0=0

n=2⇒\textcolor{#2563eb}{n=2}\RightarrowDie Anzahl der Terme wird durch n bestimmt.T5(x)T_{5}(x)Der höchste Exponent bestimmt den Grad des Polynoms.

n = 0n = 5
T5(x)=x−x33!+x55!+O(x7)T_{5}(x)=x -\frac{x^{3}}{3!} +\frac{x^{5}}{5!}+\mathcal{O}(x^{7})