MathSloth

Die Rotation misst, ob ein Vektorfeld in der Nähe eines Punktes eine Drehung oder einen Wirbel erzeugt.

\operatorname{rot}(F)=\nabla \times F

Für ein Vektorfeld $F(x,y,z)=\begin{pmatrix}F_1(x,y,z)\\F_2(x,y,z)\\F_3(x,y,z)\end{pmatrix}$ gilt:

\operatorname{rot}(F)=\begin{pmatrix}\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}\\[6pt]\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}\\[6pt]\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\end{pmatrix}

Man kann sich die Rotation wie eine kleine Drehbewegung im Feld vorstellen.

Wirbel im Vektorfeld

Wenn das Feld eine Drehung erzeugt, ist $\operatorname{rot}(F)\neq 0$ .

Beispiel:

F(x,y,z)=\begin{pmatrix}-y\\x\\0\end{pmatrix}

\operatorname{rot}(F)=\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial y}(0)-\frac{\partial}{\partial z}(x)\\[6pt]\frac{\partial}{\partial z}(-y)-\frac{\partial}{\partial x}(0)\\[6pt]\frac{\partial}{\partial x}(x)-\frac{\partial}{\partial y}(-y)\end{pmatrix}

\operatorname{rot}(F)=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}

Merksatz

Die Rotation macht aus einem Vektorfeld wieder ein Vektorfeld. Sie zeigt, ob und in welche Richtung ein Feld lokal rotiert.