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Analysis - Mehrdimensionale Analysis

Einführung in den Laplace Operator

Der Laplace Operator beschreibt, wie stark sich eine Funktion in alle Raumrichtungen krümmt.

Der Laplace Operator ist ein Differentialoperator. Er wird auf Funktionen angewendet, die von mehreren Variablen abhängen.

Δf\Delta f

In zwei Variablen xx und yy ist der Laplace Operator die Summe der zweiten partiellen Ableitungen.

Δf=∂2f∂x2+∂2f∂y2\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}

In drei Variablen kommt zusätzlich die zweite partielle Ableitung nach zz dazu.

Δf=∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}

Man kann sich den Laplace Operator als Maß dafür vorstellen, ob der Funktionswert an einer Stelle größer oder kleiner ist als die Werte in der direkten Umgebung.

Beispiel:

f(x,y)=x2+y2f(x,y)=x^2+y^2
∂2f∂x2=2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=2
∂2f∂y2=2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2
Δf=2+2=4\Delta f = 2+2=4

Merke: Der Laplace Operator addiert alle zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion.