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Analysis - Mehrdimensionale Analysis

Gradient grafisch verstehen

Der Gradient macht aus einem Skalarfeld ein Vektorfeld.

Ein Skalarfeld ordnet jedem Punkt eine Zahl zu. Der Gradient macht daraus ein Vektorfeld.

f(x,y)→ ∇f ∇f(x,y)f(x,y)\quad \xrightarrow{\ \nabla f\ }\quad \nabla f(x,y)
Skalarfeld
f(x,y)f(x,y)

Jeder Punkt bekommt eine Zahl.

→
Vektorfeld
∇f(x,y)\nabla f(x,y)

Jeder Punkt bekommt einen Vektor.

Der Gradient zeigt in die Richtung, in der das Skalarfeld am stärksten wächst.

∇f(x,y)=(∂f∂x∂f∂y)\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x}\\[4pt]\frac{\partial f}{\partial y}\end{pmatrix}

Grafisch kann man ein Skalarfeld durch Höhenlinien darstellen. Der Gradient steht senkrecht auf den Höhenlinien und zeigt bergauf.

SkalarfeldHöhenlinien von f(x,y)max∇fZahl pro Punkt∇VektorfeldVektoren von ∇f(x,y)Vektor pro Punkt
∇f\nabla f

zeigt in Richtung des stärksten Anstiegs.

∣∇f∣|\nabla f|

beschreibt, wie stark das Feld dort steigt.

∇f=0\nabla f=0

bedeutet, dass dort kein stärkster Anstieg erkennbar ist.

Beispiel:

f(x,y)=x2+y2f(x,y)=x^2+y^2
∇f(x,y)=(∂f∂x∂f∂y)\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x}\\[4pt]\frac{\partial f}{\partial y}\end{pmatrix}
∇f(x,y)=(2x2y)\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}2x\\2y\end{pmatrix}

Aus dem Skalarfeld f(x,y)=x2+y2f(x,y)=x^2+y^2 wird das Vektorfeld ∇f(x,y)=(2x2y)\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}2x\\2y\end{pmatrix}.

Merksatz

Der Gradient macht aus einem Skalarfeld ein Vektorfeld. Jeder Gradientvektor zeigt in die Richtung, in der das Skalarfeld am stärksten wächst.