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Stochastik · Stetige Verteilungen

Stetige Gleichverteilung berechnen

Berechne Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Varianz für eine gleichverteilte Wartezeit.

Formeln

Stetige Gleichverteilung

Wahrscheinlichkeit

P(x1≤X≤x2)=x2−x1b−aP(x_1\leq X\leq x_2)=\dfrac{x_2-x_1}{b-a}

Breite des Teilintervalls geteilt durch Gesamtbreite.

Erwartungswert

E(X)=a+b2E(X)=\dfrac{a+b}{2}

Arithmetisches Mittel der Intervallgrenzen.

Varianz

Var⁡(X)=(b−a)212\operatorname{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}

Quadrat der Intervallbreite geteilt durch 12.

Aufgabe

Bus-Haltestelle

Situation

Der nächste Bus kommt gleichmäßig verteilt zwischen 2 und 8 Minuten. Die Wartezeit XX ist stetig gleichverteilt.

X∼U(2, 8),f(x)=16X \sim U(2,\,8),\quad f(x)=\dfrac{1}{6}

Gesucht 1

P(3≤X≤6)P(3\leq X\leq 6)

Gesucht 2

E(X)E(X)

Gesucht 3

Var⁡(X)\operatorname{Var}(X)

Dichtefunktion

f(x)=16f(x) = \tfrac{1}{6} auf [2, 8][2,\,8]

1/6012345678910abf(x)P

Der grün markierte Bereich entspricht P(3≤X≤6)P(3\leq X\leq 6).

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