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Stochastik · Stetige Verteilungen

Stetige Gleichverteilung

Konstante Dichte

Überall gleich wahrscheinlich

f(x)=1b−afu¨r a≤x≤bf(x)=\dfrac{1}{b-a}\quad\text{für }a\leq x\leq b

Notation

Schreibweise

X∼U(a, b)X \sim U(a,\,b)

UU steht für uniform – gleichmäßig verteilt auf dem Intervall [a,b][a,b].

Rechteck-Fläche

Wahrscheinlichkeit als Fläche

P(x1≤X≤x2)=x2−x1b−aP(x_1\leq X\leq x_2)=\dfrac{x_2-x_1}{b-a}

Breite des Teilintervalls mal konstante Höhe.

Formeln

Kennzahlen

Erwartungswert

E(X)=a+b2E(X)=\dfrac{a+b}{2}
1+52=3,00\dfrac{1+5}{2}=3{,}00

Varianz

Var⁡(X)=(b−a)212\operatorname{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}
(5−1)212=1612≈1,33\dfrac{(5-1)^2}{12}=\dfrac{16}{12}\approx1{,}33

Standardabweichung

σ=b−a12\sigma=\dfrac{b-a}{\sqrt{12}}
412≈1,15\dfrac{4}{\sqrt{12}}\approx1{,}15

Parameter wählen

Untergrenze aa

Obergrenze bb

X∼U(1, 5),f(x)=14X\sim U(1,\,5),\quad f(x)=\dfrac{1}{4}
1/4012345678910abf(x)

Wahrscheinlichkeit berechnen

P(X≤3,00)=2,004=12=0,50P(X\leq 3{,}00)=\frac{2{,}00}{4}=\frac{1}{2}=0{,}50

Kennzahlen

Lage und Streuung für U(1, 5)U(1,\,5)

Erwartungswert

E(X)=a+b2E(X)=\dfrac{a+b}{2}

3,00

1+52=3,00\dfrac{1+5}{2}=3{,}00

Varianz

Var⁡(X)=(b−a)212\operatorname{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}

1,33

4212=1,33\dfrac{4^2}{12}=1{,}33

Standardabweichung

σ=b−a12\sigma=\dfrac{b-a}{\sqrt{12}}

1,15

412≈1,15\dfrac{4}{\sqrt{12}}\approx1{,}15