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Stochastik

Normalverteilung

Symmetrische Glockenkurve

X∼N(μ, σ2)X \sim N(\mu,\,\sigma^2)

μ\mu bestimmt die Lage (Schwerpunkt) der Kurve. σ\sigma steuert die Breite – je größer σ\sigma, desto flacher und breiter die Glocke.

Parameter

μ und σ

Erwartungswert E(X)=μE(X)=\mu und Varianz Var⁡(X)=σ2\operatorname{Var}(X)=\sigma^2 beschreiben die Verteilung vollständig.

68-95-99,7-Regel

Faustregeln

Innerhalb von ±σ\pm\sigma liegen ca. 68 %, innerhalb von ±2σ\pm 2\sigma ca. 95 % und innerhalb von ±3σ\pm 3\sigma ca. 99,7 % aller Werte.

Formel

Dichtefunktion

f(x)=1σ2π e−(x−μ)22σ2f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
E(X)=μ,Var⁡(X)=σ2,σ=σE(X)=\mu,\quad \operatorname{Var}(X)=\sigma^2,\quad \sigma=\sigma

68-%-Regel

P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0,68P(\mu-\sigma\leq X\leq\mu+\sigma)\approx 0{,}68

95-%-Regel

P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0,95P(\mu-2\sigma\leq X\leq\mu+2\sigma)\approx 0{,}95

99,7-%-Regel

P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0,997P(\mu-3\sigma\leq X\leq\mu+3\sigma)\approx 0{,}997

Parameter wählen

Erwartungswert μ\mu

Standardabweichung σ\sigma

X∼N(5, 12)X\sim N(5,\,1^2)
μ-3σμ-2σμ-σμμ+σμ+2σμ+3σ
P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0,68P(\mu-\sigma\leq X\leq\mu+\sigma)\approx 0{,}68

Standardisierung

Umrechnung auf N(0,1)N(0,1)

Z-Transformation

Jede Normalverteilung lässt sich auf die Standard-Normalverteilung N(0,1)N(0,1) zurückführen.

Z=X−μσ∼N(0,1)Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)

Wahrscheinlichkeit umrechnen

Intervallwahrscheinlichkeiten werden durch Standardisierung der Grenzen berechnet.

P(a≤X≤b)=P ⁣(a−μσ≤Z≤b−μσ)P(a\leq X\leq b)=P\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\leq Z\leq\frac{b-\mu}{\sigma}\right)