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Stochastik

Grundlagen stetiger Verteilungen

Vergleich

Diskret vs. Stetig

Diskrete Verteilungen haben Balken für einzelne Werte. Stetige Verteilungen haben eine Kurve – die Fla¨che\textbf{Fläche} unter ihr ist die Wahrscheinlichkeit.

Definition

Dichtefunktion

f(x)≥0f(x)\geq 0
∫−∞∞f(x) dx=1\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1

Kern-Idee

Wahrscheinlichkeit als Fläche

P(a≤X≤b)=∫abf(x) dxP(a\leq X\leq b)=\int_a^b f(x)\,dx

Verteilung wählen

Stetige Verteilungen

Gleichverteilung

f(x)=1b−af(x)=\frac{1}{b-a}

Eigenschaft

Auf dem Intervall \([a,b]\) ist jeder Wert gleich wahrscheinlich.

Dichtefunktion

0246810

Die Fläche unter der Kurve ergibt 11.

Verteilungsfunktion

Kumulierte Wahrscheinlichkeit

F(x)=P(X≤x)=∫−∞xf(t) dtF(x)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt

Eigenschaft

Steigt von 0 auf 1

Die Verteilungsfunktion beginnt bei F(−∞)=0F(-\infty)=0 und endet bei F(+∞)=1F(+\infty)=1. Sie ist monoton wachsend.

Rechenregel

Intervallwahrscheinlichkeit

P(a≤X≤b)=F(b)−F(a)P(a\leq X\leq b)=F(b)-F(a)