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Stochastik · Stetige Verteilungen

Exponentialverteilung

Wartezeit

Wie lange bis zum nächsten Ereignis?

X∼Exp(λ)X \sim \mathrm{Exp}(\lambda) modelliert die Wartezeit bis ein Ereignis erstmals eintritt – z. B. bis der nächste Bus kommt oder eine Lampe ausfällt.

Parameter λ

λ heißt Rate

λ\lambda gibt an, wie oft das Ereignis pro Zeiteinheit im Schnitt eintritt. Größeres λ\lambda bedeutet kürzere mittlere Wartezeit E(X)=1λE(X) = \tfrac{1}{\lambda}.

Gedächtnislosigkeit

Die Vergangenheit spielt keine Rolle

P(X>s+t∣X>s)=P(X>t)P(X > s{+}t \mid X > s) = P(X > t). Egal wie lange man schon gewartet hat – die Restwartezeit ist immer gleich verteilt.

Formeln

Dichte und Verteilungsfunktion

Dichtefunktion

f(x)=λe−λx,x≥0f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\quad x\geq 0

Verteilungsfunktion

F(x)=P(X≤x)=1−e−λxF(x)=P(X\leq x)=1-e^{-\lambda x}

Erwartungswert

E(X)=1λE(X)=\dfrac{1}{\lambda}

Varianz

Var⁡(X)=1λ2\operatorname{Var}(X)=\dfrac{1}{\lambda^2}

Standardabw.

σ=1λ\sigma=\dfrac{1}{\lambda}

Rate λ wählen

Grenze t für P(X ≤ t)

X∼Exp(1)X\sim\text{Exp}(1)
0246810t=2
P(X≤2)=1−e−1⋅2≈0,8647P(X\leq 2)=1-e^{-1\cdot 2}\approx 0{,}8647

Kennzahlen

Live-Werte für λ = 1

Erwartungswert

E(X)=1λE(X)=\dfrac{1}{\lambda}

1,00

11=1,00\frac{1}{1}=1{,}00

Varianz

Var⁡(X)=1λ2\operatorname{Var}(X)=\dfrac{1}{\lambda^2}

1,00

112=1,00\frac{1}{1^2}=1{,}00

Standardabweichung

σ=1λ\sigma=\dfrac{1}{\lambda}

1,00

11=1,00\frac{1}{1}=1{,}00