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Stochastik

Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung beschreibt die Anzahl seltener Ereignisse in einem festen Zeitraum oder Gebiet.

Idee

Seltene Ereignisse zählen

Wie viele Anrufe kommen in einer Stunde? Wie viele Fehler stecken auf einer Seite? Die Poisson-Verteilung zählt solche Ereignisse.

Parameter

Nur λ (Lambda)

Der einzige Parameter λ\lambda ist die mittlere Anzahl der Ereignisse im betrachteten Zeitraum oder Gebiet.

Besonderheit

E(X) = Var(X) = λ

Bei der Poisson-Verteilung sind Erwartungswert und Varianz identisch — beide gleichen λ\lambda. Das ist einzigartig.

Formel

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Die Wahrscheinlichkeit für genau kk Ereignisse im Zeitraum lautet:

P(X=k)=λk⋅e−λk!P(X=k)=\frac{\lambda^k\cdot e^{-\lambda}}{k!}

Bestandteile

λk\lambda^k

Einfluss der Rate: Je größer λ\lambda, desto wahrscheinlicher sind große Werte.

e−λe^{-\lambda}

Normierungsfaktor, sorgt dafür, dass alle Wahrscheinlichkeiten zusammen 1 ergeben.

k!k!

Fakultät von kk, verhindert Überzählung bei hohen kk.

Erwartungswert

E(X)=λE(X)=\lambda

Varianz

Var⁡(X)=λ\operatorname{Var}(X)=\lambda

Sigma

σ=λ\sigma=\sqrt{\lambda}

λ wählen

X∼Po(3)X\sim\text{Po}(3)

Balken anklicken für P(X = k)

Kennzahlen

Lage und Streuung

Erwartungswert

E(X)=λE(X)=\lambda

3,00

E(X)=λ=3E(X)=\lambda=3

Varianz

Var⁡(X)=λ\operatorname{Var}(X)=\lambda

3,00

Gleich dem Erwartungswert!

Standardabweichung

σ=λ\sigma=\sqrt{\lambda}

1,73

3=1,73\sqrt{3}=1{,}73

Anwendungsbedingungen

Unabhängigkeit

Das Auftreten eines Ereignisses beeinflusst das nächste nicht.

Stationarität

Die mittlere Rate λ\lambda ist konstant über den Zeitraum.

Seltenheit

Ereignisse treten selten auf — im kleinen Zeitintervall höchstens einmal.