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Stochastik

Geometrische Verteilung

Die geometrische Verteilung beschreibt, wie viele Versuche man braucht, bis zum ersten Treffer.

Frage

Wann kommt der erste Treffer?

XX gibt an, beim wievielten Versuch der erste Treffer auftritt. Es wird so lange wiederholt, bis erstmals Erfolg eintritt.

Formel

Abnehmende Wahrscheinlichkeit

Je später der erste Treffer kommt, desto unwahrscheinlicher ist das. Die Wahrscheinlichkeit nimmt mit jedem Schritt um den Faktor (1−p)(1-p) ab.

Beispiel

Würfeln bis zur Sechs

Wie viele Würfe braucht man, bis man zum ersten Mal eine 6 würfelt? Hier ist p=16p=\tfrac{1}{6} und E(X)=6E(X)=6.

Formel

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Für genau kk Versuche bis zum ersten Treffer müssen die ersten k−1k-1 Versuche Nieten sein und der kk-te ein Treffer.

P(X=k)=p⋅(1−p)k−1P(X=k)=p\cdot(1-p)^{k-1}

Herleitung

N

Niete beim 1. bis (k−1)-ten Versuch: (1−p)k−1(1-p)^{k-1}

T

Treffer beim k-ten Versuch: pp

Erwartungswert

E(X)=1pE(X)=\frac{1}{p}

Varianz

Var⁡(X)=1−pp2\operatorname{Var}(X)=\frac{1-p}{p^2}

Wertebereich

k∈{1,2,3,… }k\in\{1,2,3,\dots\}

Trefferwahrscheinlichkeit wählen

P(X=k)=0,30⋅0,70k−1P(X=k)=0{,}30\cdot0{,}70^{k-1}

Balken anklicken für P(X = k)

Kennzahlen

Erwartungswert und Varianz

Mit größerem pp muss man im Schnitt weniger Versuche warten. Der Erwartungswert 1p\frac{1}{p} ist intuitiv: Wenn jeder 5. Versuch trifft, wartet man im Schnitt 5 Versuche.

Erwartungswert

E(X)=1pE(X)=\frac{1}{p}

3,33

10,30=3,33\frac{1}{0{,}30}=3{,}33

Varianz

Var⁡(X)=1−pp2\operatorname{Var}(X)=\frac{1-p}{p^2}

7,78

0,700,302=7,78\frac{0{,}70}{0{,}30^2}=7{,}78

Standardabweichung

σ=1−pp2\sigma=\sqrt{\frac{1-p}{p^2}}

2,79

7,78=2,79\sqrt{7{{,}}78}=2{,}79