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Stochastik

Diskrete Gleichverteilung

Bei einer diskreten Gleichverteilung haben alle möglichen Werte dieselbe Wahrscheinlichkeit. Du brauchst also nur zu wissen, wie viele Werte möglich sind.

Idee

Alle Werte gleich fair

Eine diskrete Gleichverteilung liegt vor, wenn jeder mögliche Wert von XX dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzt.

Anzahl

Entscheidend ist n

Wenn es nn mögliche Werte gibt, dann hat jeder einzelne Wert die Wahrscheinlichkeit 1n\frac{1}{n}.

Beispiel

Fairer Würfel

Beim fairen Würfel gilt für jede Augenzahl P(X=x)=16P(X=x)=\frac{1}{6}.

Regel

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Ist XX gleichverteilt auf den Werten x1,x2,…,xnx_1,x_2,\dots,x_n, dann bekommt jeder Wert denselben Anteil der Gesamtwahrscheinlichkeit.

P(X=xi)=1nP(X=x_i)=\frac{1}{n}

Jeder Wert

p(xi)=1np(x_i)=\frac{1}{n}

Kontrolle

∑i=1n1n=1\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n}=1

Beispiel auswählen

Fairer Würfel

Alle Augenzahlen von 1 bis 6 sind gleich wahrscheinlich.

n=6,P(X=x)=16=0,17n=6,\qquad P(X=x)=\frac{1}{6}=0{,}17

Alle Balken sind gleich hoch, also haben alle Werte dieselbe Wahrscheinlichkeit.

Verteilungsfunktion

Werte bis zur Grenze zählen

Bei einer diskreten Gleichverteilung kannst du F(x)=P(X≤x)F(x)=P(X\leq x) besonders einfach berechnen: Zähle, wie viele Werte höchstens xx sind, und teile durch die Gesamtanzahl nn.

F(x)=#{xi≤x}nF(x)=\frac{\#\{x_i\leq x\}}{n}

Grenze wählen

Rechnung

F(3)=P(X≤3)F(3)=P(X\leq 3)
F(3)=36=0,50F(3)=\frac{3}{6}=0{,}50

x=1x=1

16\frac{1}{6}

x=2x=2

16\frac{1}{6}

x=3x=3

16\frac{1}{6}

x=4x=4

nicht enthalten\text{nicht enthalten}

x=5x=5

nicht enthalten\text{nicht enthalten}

x=6x=6

nicht enthalten\text{nicht enthalten}

Lage und Streuung

Erwartungswert und Varianz

Der Erwartungswert ist bei einer Gleichverteilung der Durchschnitt aller möglichen Werte. Die Varianz misst, wie stark die Werte um diesen Durchschnitt streuen.

Allgemein

E(X)=x1+x2+⋯+xnnE(X)=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}

Durchschnitt aller möglichen Werte

Aktuelles Beispiel

E(X)=1+2+3+4+5+66E(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}

3,50

Streuung

Var⁡(X)=1n∑i=1n(xi−E(X))2\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-E(X))^2

Varianz

2,92

Sigma

1,71

Spezialfall

Gleichverteilung auf aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen

Wenn die Werte genau a,a+1,…,ba,a+1,\dots,b sind, dann kann man Erwartungswert und Varianz besonders schnell berechnen.

Anzahl

n=b−a+1n=b-a+1

Anzahl aller ganzen Zahlen von a bis b

Erwartungswert

E(X)=a+b2E(X)=\frac{a+b}{2}

Mittelpunkt zwischen kleinstem und größtem Wert

Varianz

Var⁡(X)=n2−112\operatorname{Var}(X)=\frac{n^2-1}{12}

gilt für gleichabständige ganze Werte

Auf das aktuelle Beispiel angewendet

Wertebereich

1,…,61,\dots,6

Erwartungswert

E(X)=1+62=3,50E(X)=\frac{1+6}{2}=3{,}50

Varianz

Var⁡(X)=62−112=2,92\operatorname{Var}(X)=\frac{6^2-1}{12}=2{,}92