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Stochastik

Binomialverteilung

Die Binomialverteilung zählt die Treffer bei n unabhängigen Bernoulli-Experimenten mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit p.

Idee

n-mal dasselbe Experiment

Ein Bernoulli-Versuch wird nn-mal wiederholt. Die Zufallsgröße XX zählt, wie oft ein Treffer auftritt.

Parameter

n und p

nn ist die Anzahl der Versuche. pp ist die Trefferwahrscheinlichkeit pro Versuch. Beide müssen konstant sein.

Bedingung

Unabhängigkeit

Jeder Versuch muss unabhängig vom vorherigen sein. Das Ergebnis eines Versuchs darf die Wahrscheinlichkeit des nächsten nicht verändern.

Formel

Wahrscheinlichkeitsfunktion

P(X=k)=(nk)⋅pk⋅(1−p)n−kP(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}

Binomialkoeffizient

(nk)=n!k!⋅(n−k)!\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}

Wie viele Möglichkeiten gibt es, kk Treffer auf nn Plätze zu verteilen?

Erwartungswert

E(X)=n⋅pE(X)=n\cdot p

Varianz

Var⁡(X)=n⋅p⋅(1−p)\operatorname{Var}(X)=n\cdot p\cdot(1-p)

Sigma

σ=n⋅p⋅(1−p)\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}

Parameter wählen

Versuche nn

Wahrscheinlichkeit pp

X∼B(6, 12)X\sim B(6,\,\tfrac{1}{2})

Balken anklicken für die Einzelwahrscheinlichkeit

Kennzahlen

Lage und Streuung

Erwartungswert

E(X)=n⋅pE(X)=n\cdot p

3,00

6⋅12=3,006\cdot\tfrac{1}{2}=3{,}00

Varianz

Var⁡(X)=n⋅p⋅(1−p)\operatorname{Var}(X)=n\cdot p\cdot(1-p)

1,50

6⋅12⋅12=1,506\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=1{,}50

Standardabweichung

σ=n⋅p⋅(1−p)\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}

1,22

1,50=1,22\sqrt{1{{,}}50}=1{,}22