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Stochastik

Bernoulli-Verteilung

Die Bernoulli-Verteilung beschreibt einen einzelnen Versuch mit genau zwei möglichen Ausgängen: Treffer oder Niete.

Idee

Ein Versuch, zwei Ausgänge

Bei einem Bernoulli-Experiment gibt es genau zwei Ergebnisse: Treffer (X=1X=1) mit Wahrscheinlichkeit pp oder Niete (X=0X=0) mit 1−p1-p.

Notation

X ~ B(1, p)

Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung mit n=1n=1. Der Parameter pp heißt Trefferwahrscheinlichkeit.

Beispiele

Überall im Alltag

Münzwurf (Kopf/Zahl), Freiwurf (Treffer/Fehlwurf), Qualitätsprüfung (fehlerfrei/defekt) — überall steckt ein Bernoulli-Versuch dahinter.

Formel

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Die Bernoulli-Verteilung weist den zwei möglichen Werten je eine Wahrscheinlichkeit zu:

P(X=1)=p(Treffer)P(X=1)=p \qquad \text{(Treffer)}
P(X=0)=1−p(Niete)P(X=0)=1-p \qquad \text{(Niete)}
P(X=k)=pk⋅(1−p)1−k,k∈{0,1}P(X=k)=p^k\cdot(1-p)^{1-k},\quad k\in\{0,1\}

Erwartungswert

E(X)=pE(X)=p

Varianz

Var⁡(X)=p(1−p)\operatorname{Var}(X)=p(1-p)

Sigma

σ=p(1−p)\sigma=\sqrt{p(1-p)}

Trefferwahrscheinlichkeit wählen

p=0,60p=0{,}60

Kennzahlen

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Alle drei Kennzahlen hängen nur von pp ab. Die Varianz ist maximal bei p=0,5p=0{,}5 und wird kleiner, je näher pp an 0 oder 1 liegt.

Erwartungswert

E(X)=pE(X)=p

0,60

E(X)=0,60E(X)=0{,}60

Varianz

Var⁡(X)=p⋅(1−p)\operatorname{Var}(X)=p\cdot(1-p)

0,24

0,60⋅0,40=0,240{,}60\cdot0{,}40=0{,}24

Standardabweichung

σ=p⋅(1−p)\sigma=\sqrt{p\cdot(1-p)}

0,49

0,24=0,49\sqrt{0{{,}}24}=0{,}49

Maximale Unsicherheit

Die Varianz ist maximal, wenn p=0,5p=0{,}5: dann ist das Ergebnis am unvorhersehbarsten. Bei p=0p=0 oder p=1p=1 ist das Ergebnis sicher bekannt — die Varianz ist Null.

Var⁡(X)max⁡=0,5⋅0,5=0,25bei p=0,5\operatorname{Var}(X)_{\max}=0{,}5\cdot0{,}5=0{,}25\quad\text{bei }p=0{,}5