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Komplexe Zahlen · Polarform

Von der algebraischen Form zur Polardarstellung

Hier lernst du Schritt für Schritt, wie du eine komplexe Zahl aus der Form z = a + bi in die Polarform umwandelst.

Eine komplexe Zahl in algebraischer Form sieht so aus:

z=a+biz = a + bi

Ziel ist es, diese Zahl in die Polarform zu bringen:

z=r⋅(cos⁡(φ)+isin⁡(φ))z = r \cdot (\cos(\varphi) + i \sin(\varphi))
1

Realteil und Imaginärteil ablesen

Vergleiche deine Zahl mit z=a+biz = a + bi. Dann ist aa der Realteil und bb der Imaginärteil.

z=3+4iz = 3 + 4i
a=3,b=4a = 3, \quad b = 4
2

Betrag berechnen

Der Betrag rr ist der Abstand der komplexen Zahl vom Ursprung.

r=∣z∣=a2+b2r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}
r=32+42=25=5r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5
3

Winkel berechnen

Der Winkel φ\varphi beschreibt die Richtung der komplexen Zahl.

tan⁡(φ)=ba\tan(\varphi) = \frac{b}{a}
φ=arctan⁡(ba)\varphi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)
φ=arctan⁡(43)\varphi = \arctan\left(\frac{4}{3}\right)
4

In Polarform einsetzen

Jetzt setzt du rr und φ\varphi in die Polarform ein.

z=r⋅(cos⁡(φ)+isin⁡(φ))z = r \cdot (\cos(\varphi) + i \sin(\varphi))
z=5⋅(cos⁡(arctan⁡(43))+isin⁡(arctan⁡(43)))z = 5 \cdot \left(\cos\left(\arctan\left(\frac{4}{3}\right)\right) + i \sin\left(\arctan\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right)

Merkschema

1. Lies aa und bb aus z=a+biz = a + bi ab.

2. Berechne den Betrag:

r=a2+b2r = \sqrt{a^2 + b^2}

3. Berechne den Winkel:

φ=arctan⁡(ba)\varphi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)

4. Schreibe die Zahl in Polarform:

z=r⋅(cos⁡(φ)+isin⁡(φ))z = r \cdot (\cos(\varphi) + i \sin(\varphi))

Wichtig bei negativen Werten

Die Formel φ=arctan⁡(ba)\varphi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) liefert nicht immer direkt den richtigen Winkel, weil der Quadrant beachtet werden muss. Liegt die Zahl links in der komplexen Ebene, also bei a<0a < 0, muss der Winkel meistens noch angepasst werden.

a>0:φ=arctan⁡(ba)a > 0: \quad \varphi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)
a<0:φ=arctan⁡(ba)+πa < 0: \quad \varphi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) + \pi