MathSloth

Kerngedanke

Polynome sind einfach — alles andere ist schwer

Addieren

1+2x+3x^2

Polynome kann man gliedweise addieren, ableiten und integrieren.

Ableiten

\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}

Jedes Polynom lässt sich exakt und schnell ableiten.

Integrieren

\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}

Jedes Polynom lässt sich exakt integrieren.

Funktionen wie $\sin(x)$ , $e^x$ oder $\ln(x)$ sind dagegen viel komplizierter. Die Idee: Man ersetzt sie lokal durch ein Polynom — und nutzt dessen einfache Eigenschaften.

Anwendungen

Vier konkrete Einsatzgebiete

1

Näherungswerte berechnen

Werte wie sin(0.3) lassen sich nicht exakt per Hand ausrechnen. Mit dem Taylorpolynom erhält man eine sehr gute Näherung.

\sin(0.3)\approx 0.3-\frac{0.3^3}{3!}=0.2955

2

Nicht integrierbare Funktionen

Manche Funktionen haben keine geschlossene Stammfunktion. Die Reihe erlaubt trotzdem eine Berechnung.

\int e^{-x^2}\,dx = \int\!\left(1-x^2+\frac{x^4}{2!}-\cdots\right)dx

3

Grenzwerte bestimmen

Bei Grenzwerten der Form 0/0 kann man Zähler und Nenner durch ihre Taylorpolynome ersetzen.

\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{x-\frac{x^3}{6}+\cdots}{x}=1

4

Linearisierung in der Physik

Bei kleinen Winkeln gilt sin(φ) ≈ φ. Das vereinfacht viele physikalische Modelle erheblich.

\sin(\varphi)\approx\varphi\quad(\varphi\text{ klein})

Merksatz

Die drei wichtigsten Vorteile

Berechnen

Näherungswerte für Funktionen wie $\sin(x)$ ohne Taschenrechner.

Vereinfachen

Grenzwerte und Integrale, die sich direkt nicht lösen lassen, werden handhabbar.

Modellieren

In Physik und Technik werden komplizierte Zusammenhänge lokal linearisiert.