🔥...
Laden
⌂Home
←ZurückWeiter→

Analysis - Taylorreihen

Mit bekannten Taylorreihen neue bestimmen

Viele komplizierte Reihen entstehen, indem du eine bekannte Standardreihe nimmst und innen etwas einsetzt.

Kerngedanke

Erst Standardreihe erkennen, dann einsetzen

1. Standardreihe

eu, sin⁡(u), cos⁡(u), ln⁡(1+u)e^u,\ \sin(u),\ \cos(u),\ \ln(1+u)

Du brauchst zuerst eine bekannte Reihe mit uu.

2. Einsetzen

u=x2,u=2x,u=−x2u=x^2,\quad u=2x,\quad u=-x^2

Dann ersetzt du jedes uu durch den inneren Ausdruck.

3. Vereinfachen

(x2)3=x6(x^2)^3=x^6

Am Ende vereinfachst du Potenzen und Vorzeichen.

Interaktiv

Zwei Wege, gleiche Idee

Weg 1

Mit Taylorpolynom

Weg 2

Mit Reihendarstellung

Bekanntes Polynom

T2(u)=1+u+u22!+O(u3)T_2(u)=1+u+\frac{u^2}{2!}+\mathcal{O}(u^3)

Bekannte Reihe

eu=∑k=0∞ukk!e^u=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{u^k}{k!}

Einsetzen

u=x2u=x^2

Einsetzen

u=x2u=x^2

Nach dem Einsetzen

T4(x)=1+x2+x42!+O(x6)T_{4}(x)=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\mathcal{O}(x^{6})

Nach dem Einsetzen

ex2=∑k=0∞(x2)kk!e^{x^2}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(x^2)^k}{k!}

Die meisten komplizierten Funktionen lassen sich aus den Standardreihen herleiten.