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Analysis

Regelfunktionen

Regelfunktionen sind Funktionen, deren Unstetigkeiten nur Sprungstellen sind.

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Unter einer Regelfunktion oder sprungstetigen Funktion versteht man eine Funktion, deren einzige Unstetigkeitsstellen Sprungstellen sind.

f:D→Rf:D\to \mathbb{R}

Die Funktion darf springen, aber keine anderen Arten von Unstetigkeiten besitzen.

Idee

Eine Regelfunktion verläuft stückweise ruhig. An bestimmten Stellen kann sie plötzlich von einem Wert auf einen anderen Wert springen.

xf(x)SprungstelleSprungstelle

Sprungstelle

Eine Sprungstelle liegt vor, wenn sich der Funktionswert beim Annähern von links und rechts unterschiedlich verhält.

lim⁡x→x0−f(x)≠lim⁡x→x0+f(x)\lim_{x\to x_0^-} f(x) \neq \lim_{x\to x_0^+} f(x)

Keine Sprungstelle

Wenn die Funktion bei einer Stelle unendlich groß wird oder stark oszilliert, ist das keine Sprungstelle.

f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}

Bei x=0x=0 entsteht keine Sprungstelle.

Beispiel

Diese Funktion ist eine typische sprungstetige Funktion. Sie ist stückweise konstant und springt bei x=1x=1.

f(x)={2,x<15,x≥1f(x)=\begin{cases} 2, & x<1 \\ 5, & x\geq 1 \end{cases}

Links von 11 hat die Funktion den Wert 22. Ab 11 hat sie den Wert 55.

Merke

Eine Regelfunktion darf Sprungstellen haben. Wichtig ist nur, dass keine anderen Unstetigkeitsarten auftreten.

Regelfunktion⇒nur Sprungstellen als Unstetigkeiten\text{Regelfunktion} \Rightarrow \text{nur Sprungstellen als Unstetigkeiten}