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Analysis

Stetigkeit

Eine stetige Funktion hat keine Sprünge, Lücken oder Brüche im Graphen.

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Eine Funktion heißt stetig, wenn ihr Graph ohne Sprung, Lücke oder Unterbrechung verläuft.

kleine A¨nderung von x⇒kleine A¨nderung von f(x)\text{kleine Änderung von } x \Rightarrow \text{kleine Änderung von } f(x)

Anschaulich bedeutet Stetigkeit: Der Funktionswert verändert sich nicht plötzlich.

Anschauliche Idee

Eine stetige Funktion kann man sich so vorstellen, dass man den Graphen zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen.

xf(x)kein Sprungkeine Lücke

Stetig an einer Stelle

Eine Funktion ist an der Stelle x0x_0 stetig, wenn der Grenzwert dort genau dem Funktionswert entspricht.

lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)

Nicht stetig

Eine Funktion ist nicht stetig, wenn der Graph an einer Stelle springt, eine Lücke hat oder dort nicht definiert ist.

lim⁡x→x0f(x)≠f(x0)\lim_{x\to x_0} f(x)\neq f(x_0)

Beispiel: stetige Funktion

Polynome sind typische stetige Funktionen. Der Graph hat keine Sprünge oder Lücken.

f(x)=x2f(x)=x^2

Für jede Stelle x0x_0 gilt:

lim⁡x→x0x2=x02=f(x0)\lim_{x\to x_0} x^2=x_0^2=f(x_0)

Beispiel: nicht stetige Funktion

Diese Funktion hat bei x=1x=1 einen Sprung und ist dort nicht stetig.

f(x)={2,x<15,x≥1f(x)=\begin{cases} 2, & x<1 \\ 5, & x\geq 1 \end{cases}

Von links nähert sich die Funktion dem Wert 22. Von rechts hat sie den Wert 55.

lim⁡x→1−f(x)=2undlim⁡x→1+f(x)=5\lim_{x\to 1^-} f(x)=2 \quad \text{und} \quad \lim_{x\to 1^+} f(x)=5