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Analysis - Integrale

Mit uneigentlichen Integralen umgehen

Der Trick ist immer gleich: Du ersetzt die problematische Stelle durch eine Variable und rechnest dann mit einem Grenzwert.

Grundidee

Uneigentlich heißt: erst Grenzwert, dann entscheiden

Bei einem uneigentlichen Integral musst du immer mit Grenzwerten arbeiten.

Uneigentliches Integral erkennen

↓

Variable ersetzen und Grenzwert aufstellen

↓

Integral berechnen

↓

Grenzwert prüfen

Fall 1 - Regel

Integralgrenze ist unendlich

Aus der unendlichen Grenze wird eine endliche Grenze bb. Danach lässt du bb gegen unendlich laufen.

∫a∞f(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx
↓
lim⁡b→∞∫abf(x) dx\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx

Beispiel 1

Beispiel

Aufgabe

∫1∞1x2 dx\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx

1. Unendlich durch Variable ersetzen

lim⁡b→∞∫1b1x2 dx\lim_{b\to\infty}\int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx

2. Stammfunktion bilden und einsetzen

lim⁡b→∞[−1x]1b=lim⁡b→∞ ⁣(1−1b)\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_1^b=\lim_{b\to\infty}\!\left(1-\frac{1}{b}\right)

3. Grenzwert prüfen

=1⇒ konvergiert=1 \quad \Rightarrow \text{ konvergiert}

Fall 2 - Regel

Über Polstelle integrieren

Liegt die Problemstelle cc zwischen den Grenzen, teilst du das Integral dort auf. Beide Teile müssen einzeln konvergieren.

∫abf(x) dx(c∈(a,b))\int_a^b f(x)\,dx \quad (c \in (a,b))
↓
lim⁡t→c−∫atf(x) dx  +  lim⁡s→c+∫sbf(x) dx\lim_{t\to c^-}\int_a^t f(x)\,dx \;+\; \lim_{s\to c^+}\int_s^b f(x)\,dx

Beispiel 2

Beispiel

Aufgabe

∫−111x2 dx\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2}\,dx

Bei x=0x=0 ist der Integrand unbeschränkt — die Polstelle liegt innerhalb des Intervalls.

1. An der Polstelle aufteilen

lim⁡t→0−∫−1tx−2 dx  +  lim⁡s→0+∫s1x−2 dx\lim_{t\to0^-}\int_{-1}^{t} x^{-2}\,dx \;+\; \lim_{s\to0^+}\int_{s}^{1} x^{-2}\,dx

2. Stammfunktion bilden und einsetzen

lim⁡t→0− ⁣[−1x]−1t  +  lim⁡s→0+ ⁣[−1x]s1\lim_{t\to0^-}\!\left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{t} \;+\; \lim_{s\to0^+}\!\left[-\frac{1}{x}\right]_{s}^{1}
=lim⁡t→0− ⁣(−1t−1)  +  lim⁡s→0+ ⁣(−1+1s)=\lim_{t\to0^-}\!\left(-\frac{1}{t}-1\right) \;+\; \lim_{s\to0^+}\!\left(-1+\frac{1}{s}\right)

3. Grenzwert prüfen

−1t→t→0−+∞⇒ divergiert-\frac{1}{t}\xrightarrow{t\to0^-}+\infty \quad \Rightarrow \text{ divergiert}

Achtung

Bei einem uneigentlichen Integral müssen alle Teilgrenzwerte, die durch problematische Stellen entstehen, einzeln existieren und endlich sein, damit das Integral konvergiert.