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Analysis - Integrationsmethoden

Partielle Integration

Partielle Integration ist die Produktregel rückwärts. Sie hilft besonders bei Integralen mit Produkten wie x·eˣ, x·sin(x) oder ln(x).

Erkennen

Wann brauchst du partielle Integration?

Suche gleichzeitig nach zwei Dingen im Integral.

∫x⏟u⋅cos⁡(x)⏟v′ dx\int \underbrace{\textcolor{#d97706}{x}}_{\textcolor{#d97706}{u}} \cdot \underbrace{\textcolor{#2563eb}{\cos(x)}}_{\textcolor{#2563eb}{v'}}\,dx
u

Faktor u

Wähle den Teil, der durch Ableiten einfacher wird. Typisch: x, x², ln(x), arctan(x).

u=x  →ableiten  u′=1\textcolor{#d97706}{u = x \;\xrightarrow{\text{ableiten}}\; u' = 1}
v′

Faktor v′ — leicht integrierbar

Der übrige Faktor muss sich gut integrieren lassen. Typisch: eˣ, sin(x), cos(x).

v′=cos⁡(x)  →integrieren  v=sin⁡(x)\textcolor{#2563eb}{v' = \cos(x) \;\xrightarrow{\text{integrieren}}\; v = \sin(x)}

Schritt für Schritt

Anwendung am Beispiel

∫xcos⁡(x) dx\int x\cos(x)\,dx
1

u und v′ wählen

Wähle u als den Faktor, der durch Ableiten einfacher wird. Der Rest ist v′.

u=x,v′=cos⁡(x)u = x, \quad v' = \cos(x)

x wird durch Ableiten zu 1 — perfekt für u

2

Ableiten und Integrieren

Leite u ab, um u′ zu erhalten. Integriere v′, um v zu erhalten.

u′=1,v=sin⁡(x)u' = 1, \quad v = \sin(x)

cos(x) integriert ergibt sin(x)

3

Formel anwenden

Setze alles in die Formel ein: ∫ u·v′ dx = u·v − ∫ u′·v dx

∫xcos⁡(x) dx=xsin⁡(x)−∫1⋅sin⁡(x) dx\int x\cos(x)\,dx = x\sin(x) - \int 1\cdot\sin(x)\,dx

Das neue Integral ist einfacher als das ursprüngliche

4

Restintegral lösen

Das verbleibende Integral ist ein Standardintegral und lässt sich direkt lösen.

∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int\sin(x)\,dx = -\cos(x)

Ableitung von −cos(x) ist sin(x) ✓

5

Zusammensetzen

Füge beide Teile zusammen und vergiss die Integrationskonstante nicht.

xsin⁡(x)−(−cos⁡(x))+C=xsin⁡(x)+cos⁡(x)+Cx\sin(x) - (-\cos(x)) + C = x\sin(x) + \cos(x) + C

Minus mal Minus ergibt Plus