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Analysis - Integrationsmethoden

Substitution

Substitution ist die Kettenregel rückwärts. Du ersetzt einen inneren Ausdruck durch u, integrierst einfacher und setzt am Ende zurück.

Erkennen

Wann brauchst du Substitution?

Suche gleichzeitig nach zwei Dingen im Integral.

∫2x⏟g′(x)⋅cos⁡ ⁣(x2⏟g(x))dx\int \underbrace{\textcolor{#2563eb}{2x}}_{\textcolor{#2563eb}{g'(x)}} \cdot \cos\!\left(\underbrace{\textcolor{#d97706}{x^2}}_{\textcolor{#d97706}{g(x)}}\right)dx
g

Innere Funktion g(x)

Steckt ein Ausdruck als Argument in einer anderen Funktion (z. B. in cos, sin, e, Wurzel, Potenz)? Das ist dein Kandidat für u.

g(x)=x2\textcolor{#d97706}{g(x) = x^2}
g′

Ableitung g′(x) muss auftauchen

Steht die Ableitung der inneren Funktion — oder ein Vielfaches davon — ebenfalls im Integral? Dann funktioniert die Substitution.

g′(x)=2x  ✓\textcolor{#2563eb}{g'(x) = 2x \;\checkmark}

Schritt für Schritt

Anwendung am Beispiel

∫2xcos⁡(x2) dx\int 2x\cos(x^2)\,dx
1

Substitution wählen

Suche den inneren Ausdruck — das was in einer Klammer, Potenz, Wurzel oder Funktion steckt.

u=x2u = x^2

x² steckt als Argument in cos(…)

2

Ableitung bilden

Leite u nach x ab und forme nach dx um — so kannst du dx im Integral ersetzen.

dudx=2x  ⟹  du=2x dx\frac{du}{dx}=2x \;\Longrightarrow\; du=2x\,dx

2x dx erscheint bereits im Integral

3

Integral umschreiben

Ersetze den inneren Ausdruck durch u und dx durch den Ausdruck aus Schritt 2. Es darf kein x mehr übrig bleiben.

∫2xcos⁡(x2) dx=∫cos⁡(u) du\int 2x\cos(x^2)\,dx = \int\cos(u)\,du

2x dx = du hebt sich weg

4

In u integrieren

Das Integral in u ist jetzt ein Standardintegral und lässt sich direkt lösen.

∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)+C\int\cos(u)\,du = \sin(u)+C

Ableitung von sin(u) ist cos(u)

5

Rücksubstitution

Ersetze u wieder durch den ursprünglichen Ausdruck in x.

sin⁡(u)+C=sin⁡(x2)+C\sin(u)+C = \sin(x^2)+C

u = x² einsetzen