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Analysis - Folgen

Grenzverhalten einer Folge bestimmen: Wurzeln

Bei Folgen mit Wurzeln erweitert man oft mit dem konjugierten Ausdruck.

Bei Folgen mit Wurzeln hilft oft das Erweitern mit dem konjugierten Ausdruck. Dadurch kann man die Wurzel teilweise entfernen und den Grenzwert leichter bestimmen.

Grundidee

n2+n−n\sqrt{n^2+n}-n

Der konjugierte Ausdruck zu n2+n−n\sqrt{n^2+n}-n ist n2+n+n\sqrt{n^2+n}+n.

n2+n−n\sqrt{n^2+n}-n
=(n2+n−n)(n2+n+n)n2+n+n= \frac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n}

Wurzel vereinfachen

Jetzt benutzt man die dritte binomische Formel:

(a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b)=a^2-b^2

Dabei ist a=n2+na=\sqrt{n^2+n} und b=nb=n.

(n2+n)2−n2n2+n+n\frac{(\sqrt{n^2+n})^2-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}
=n2+n−n2n2+n+n= \frac{n^2+n-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}
=nn2+n+n= \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}

Grenzwert bestimmen

Jetzt klammert man im Nenner nn aus.

nn2+n+n\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}
=nn1+1n+n= \frac{n}{n\sqrt{1+\frac{1}{n}}+n}
=nn(1+1n+1)= \frac{n}{n(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1)}
=11+1n+1= \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}

Für n→∞n \to \infty gilt 1n→0\frac{1}{n}\to 0.

11+1n+1→11+0+1\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1} \to \frac{1}{\sqrt{1+0}+1}
=12= \frac{1}{2}

Allgemeine Regel

Wenn zwei Terme mit einer Wurzel voneinander abgezogen werden, erweitert man meistens mit dem gleichen Ausdruck, aber mit umgekehrtem Vorzeichen.

A−B\sqrt{A}-B
erweitern mit A+B\text{erweitern mit } \sqrt{A}+B
A+B\sqrt{A}+B
erweitern mit A−B\text{erweitern mit } \sqrt{A}-B

Zweites Beispiel

4n2+3n−2n\sqrt{4n^2+3n}-2n

Man erweitert mit 4n2+3n+2n\sqrt{4n^2+3n}+2n.

4n2+3n−2n\sqrt{4n^2+3n}-2n
=(4n2+3n−2n)(4n2+3n+2n)4n2+3n+2n= \frac{(\sqrt{4n^2+3n}-2n)(\sqrt{4n^2+3n}+2n)}{\sqrt{4n^2+3n}+2n}
=4n2+3n−4n24n2+3n+2n= \frac{4n^2+3n-4n^2}{\sqrt{4n^2+3n}+2n}
=3n4n2+3n+2n= \frac{3n}{\sqrt{4n^2+3n}+2n}
3n4n2+3n+2n\frac{3n}{\sqrt{4n^2+3n}+2n}
=3nn4+3n+2n= \frac{3n}{n\sqrt{4+\frac{3}{n}}+2n}
=34+3n+2= \frac{3}{\sqrt{4+\frac{3}{n}}+2}
→34+2=34\to \frac{3}{\sqrt{4}+2}=\frac{3}{4}

Merke

Bei Wurzelausdrücken erweitert man oft mit dem konjugierten Ausdruck. Dadurch entsteht die Form (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b)=a^2-b^2 und die Wurzel verschwindet im Zähler.