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Stochastik

Grundlagen diskreter Verteilungen

Eine diskrete Verteilung beschreibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Zufallsvariable einzelne Werte annimmt. Wichtig sind die Wahrscheinlichkeitsfunktion, die Verteilungsfunktion, der Erwartungswert und die Streuung.

Idee

Einzelne Werte

Diskret bedeutet, dass nur abzählbare Werte möglich sind, zum Beispiel 0,1,2,30,1,2,3 oder 1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6.

Funktion

Wahrscheinlichkeit

Jedem Wert xx wird eine Wahrscheinlichkeit P(X=x)P(X=x) zugeordnet.

Kontrolle

Summe ist 1

Alle Einzelwahrscheinlichkeiten zusammen ergeben immer 11.

Regel

Wahrscheinlichkeitsfunktion

p(x)=P(X=x)p(x)=P(X=x)

Die Funktion p(x)p(x) sagt dir, wie wahrscheinlich genau der Wert xx ist.

Für jede diskrete Verteilung gelten zwei Bedingungen:

0≤p(x)≤10 \leq p(x) \leq 1
∑p(x)=1\sum p(x)=1

Beispiel auswählen

Fairer Würfel

X beschreibt die gewürfelte Augenzahl.

x=1x=1

0,17

x=2x=2

0,17

x=3x=3

0,17

x=4x=4

0,17

x=5x=5

0,17

x=6x=6

0,17

Verteilungsfunktion

Aufsummierte Wahrscheinlichkeit

F(x)=P(X≤x)F(x)=P(X \leq x)

Die Verteilungsfunktion zählt alle Wahrscheinlichkeiten bis zu einem Grenzwert zusammen. Bei diskreten Verteilungen entsteht dadurch gedanklich eine Treppenfunktion.

Grenzwert wählen

Rechnung

F(3)=P(X≤3)F(3)=P(X\leq 3)
F(3)=0,50F(3)=0{,}50

P(X=1)P(X=1)

0,17

P(X=2)P(X=2)

0,17

P(X=3)P(X=3)

0,17

P(X=4)P(X=4)

0,17

P(X=5)P(X=5)

0,17

P(X=6)P(X=6)

0,17