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Lineare Algebra

Gauß Verfahren

Mit dem Gauß Verfahren löst man lineare Gleichungssysteme Schritt für Schritt.

Das Gauß Verfahren ist ein Rechenverfahren, mit dem man ein lineares Gleichungssystem übersichtlich lösen kann.

Ziel ist es, die Gleichungen so umzuformen, dass man die Lösungen am Ende leicht ablesen kann.

Erlaubte Umformungen

Zeilen vertauschen

Z1↔Z2Z_1 \leftrightarrow Z_2

Zeile vervielfachen

Z1→3Z1Z_1 \to 3Z_1

Zeilen addieren

Z2→Z2−2Z1Z_2 \to Z_2 - 2Z_1

Grundidee

Man schreibt das Gleichungssystem als erweiterte Matrix und erzeugt dann möglichst viele Nullen unterhalb der Hauptdiagonale.

(abcdefghijkl)\left(\begin{array}{ccc|c} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \end{array}\right)

Beispiel

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem:

x+y=52x+y=8\begin{aligned} x + y &= 5 \\ 2x + y &= 8 \end{aligned}

Zuerst schreibt man es als erweiterte Matrix:

(115218)\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 5 \\ 2 & 1 & 8 \end{array}\right)

Jetzt erzeugt man unter der ersten Zahl eine Null:

Z2→Z2−2Z1Z_2 \to Z_2 - 2Z_1
(1150−1−2)\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & -2 \end{array}\right)

Lösung ablesen

Aus der zweiten Zeile folgt:

−y=−2⇒y=2-y = -2 \Rightarrow y = 2

Jetzt setzt man y=2y = 2 in die erste Gleichung ein:

x+2=5⇒x=3x + 2 = 5 \Rightarrow x = 3

Die Lösung lautet also:

x=3, y=2x = 3,\ y = 2

Merksatz

Beim Gauß Verfahren formt man die Zeilen so um, dass unterhalb der Hauptdiagonale Nullen entstehen. Danach kann man die Lösungen von unten nach oben berechnen.