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Komplexe Zahlen - Rechnen mit komplexen Zahlen

Multiplikation und Division

Komplexe Zahlen multipliziert man durch Ausmultiplizieren. Bei der Division erweitert man mit der konjugiert komplexen Zahl.

Multiplikation komplexer Zahlen

(a+bi)(c+di)({\color{blue}a} + {\color{red}b}i)({\color{blue}c} + {\color{red}d}i)
=ac+adi+bci+bdi2= {\color{blue}a}{\color{blue}c} + {\color{blue}a}{\color{red}d}i + {\color{red}b}{\color{blue}c}i + {\color{red}b}{\color{red}d}i^2
=(ac−bd)+(ad+bc)i= ({\color{blue}a}{\color{blue}c}-{\color{red}b}{\color{red}d}) + ({\color{blue}a}{\color{red}d}+{\color{red}b}{\color{blue}c})i

Beispiel

(3+2i)(5+4i)(3 + 2i)(5 + 4i)
=3⋅5+3⋅4i+2i⋅5+2i⋅4i= 3 \cdot 5 + 3 \cdot 4i + 2i \cdot 5 + 2i \cdot 4i
=15+12i+10i+8i2= 15 + 12i + 10i + 8i^2
=15+22i−8= 15 + 22i - 8
=7+22i= 7 + 22i

Division komplexer Zahlen

Erweitern mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners:

c+di⟶c−di{\color{blue}c} + {\color{red}d}i \quad \longrightarrow \quad {\color{blue}c} - {\color{red}d}i
a+bic+di=(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)\frac{{\color{blue}a} + {\color{red}b}i}{{\color{blue}c} + {\color{red}d}i} = \frac{({\color{blue}a} + {\color{red}b}i)({\color{blue}c} - {\color{red}d}i)}{({\color{blue}c} + {\color{red}d}i)({\color{blue}c} - {\color{red}d}i)}
=(a+bi)(c−di)c2+d2= \frac{({\color{blue}a} + {\color{red}b}i)({\color{blue}c} - {\color{red}d}i)}{{\color{blue}c}^2 + {\color{red}d}^2}
=ac+bdc2+d2+bc−adc2+d2i= \frac{{\color{blue}a}{\color{blue}c}+{\color{red}b}{\color{red}d}}{{\color{blue}c}^2 + {\color{red}d}^2} + \frac{{\color{red}b}{\color{blue}c}-{\color{blue}a}{\color{red}d}}{{\color{blue}c}^2 + {\color{red}d}^2}i

Beispiel

7+6i2+4i\frac{7 + 6i}{2 + 4i}
7+6i2+4i⋅2−4i2−4i\frac{7 + 6i}{2 + 4i} \cdot \frac{2 - 4i}{2 - 4i}
=(7+6i)(2−4i)(2+4i)(2−4i)= \frac{(7 + 6i)(2 - 4i)}{(2 + 4i)(2 - 4i)}
=38−16i20= \frac{38 - 16i}{20}
=1910−45i= \frac{19}{10} - \frac{4}{5}i

Merksatz

Multiplizieren durch Ausklammern, Dividieren durch Erweitern.