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Komplexe Zahlen · Potenzen

Komplexe Potenzen

Hier lernst du, wie man Potenzen komplexer Zahlen berechnet und warum die Polarform dafür besonders praktisch ist.

Eine komplexe Potenz bedeutet, dass eine komplexe Zahl mehrfach mit sich selbst multipliziert wird.

zn=z⋅z⋅…⋅z⏟n-malz^n = \underbrace{z \cdot z \cdot \ldots \cdot z}_{n\text{-mal}}

Für kleine Exponenten kann man direkt ausmultiplizieren. Für große Exponenten ist die Polarform deutlich einfacher.

Idee der komplexen Potenz

Schreibe die komplexe Zahl zuerst in Polarform:

z=r⋅(cos⁡(φ)+isin⁡(φ))z = r \cdot (\cos(\varphi) + i\sin(\varphi))

Dabei ist rr der Betrag und φ\varphi der Winkel der komplexen Zahl.

Wichtigste Formel

Für komplexe Potenzen verwendet man die Formel von de Moivre:

(r⋅(cos⁡(φ)+isin⁡(φ)))n=rn⋅(cos⁡(nφ)+isin⁡(nφ))\left(r \cdot (\cos(\varphi) + i\sin(\varphi))\right)^n = r^n \cdot (\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))

Das bedeutet: Der Betrag wird potenziert und der Winkel wird mit dem Exponenten multipliziert.

1

Betrag potenzieren

Aus dem Betrag rr wird beim Potenzieren der neue Betrag rnr^n.

r⟶rnr \longrightarrow r^n
2

Winkel multiplizieren

Der Winkel φ\varphi wird mit dem Exponenten nn multipliziert.

φ⟶nφ\varphi \longrightarrow n\varphi

Beispiel

Berechne die dritte Potenz der komplexen Zahl

z=2⋅(cos⁡(π6)+isin⁡(π6))z = 2 \cdot \left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)

Gesucht ist z3z^3.

z3=23⋅(cos⁡(3⋅π6)+isin⁡(3⋅π6))z^3 = 2^3 \cdot \left(\cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{6}\right)\right)
z3=8⋅(cos⁡(π2)+isin⁡(π2))z^3 = 8 \cdot \left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)
z3=8⋅(0+i⋅1)z^3 = 8 \cdot (0 + i \cdot 1)
z3=8iz^3 = 8i

Schritt für Schritt

1. Schreibe die komplexe Zahl in Polarform.

z=r⋅(cos⁡(φ)+isin⁡(φ))z = r \cdot (\cos(\varphi) + i\sin(\varphi))

2. Potenziere den Betrag.

r⟶rnr \longrightarrow r^n

3. Multipliziere den Winkel mit dem Exponenten.

φ⟶nφ\varphi \longrightarrow n\varphi

4. Setze alles in die Formel ein.

zn=rn⋅(cos⁡(nφ)+isin⁡(nφ))z^n = r^n \cdot (\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))

Merke

Beim Potenzieren komplexer Zahlen ist die Polarform meistens viel einfacher als die algebraische Form. In der Polarform sieht man direkt: Der Betrag wird potenziert, der Winkel wird vervielfacht.

zn=rn⋅(cos⁡(nφ)+isin⁡(nφ))\boxed{z^n = r^n \cdot (\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))}