Grundlagen - Strukturen
Strukturen in der Mathematik
Mathematische Strukturen beschreiben Mengen zusammen mit Regeln, Verknüpfungen oder Beziehungen.
Eine mathematische Struktur besteht meistens aus einer Menge und zusätzlichen Regeln, die auf dieser Menge gelten.
Man betrachtet also nicht nur die einzelnen Elemente, sondern auch, wie diese Elemente miteinander zusammenhängen.
Struktur=Menge+Regeln
Beispiel:
Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der Addition eine mathematische Struktur.
Dabei ist N die Menge und + die Verknüpfung.
Grundidee:
eine Menge von Zahlen
Rechenregeln auf dieser Menge
Wichtige Arten von Strukturen:
Mengen mit Rechenoperationen
Mengen mit einer Ordnung
Mengen mit Begriffen wie Nähe und Stetigkeit
Algebraische Strukturen:
Algebraische Strukturen entstehen, wenn auf einer Menge eine oder mehrere Verknüpfungen definiert sind.
Menge M mit einer Verknüpfung
Beispiele dafür sind Gruppen, Ringe, Körper und Vektorräume.
Ordnungsstrukturen:
Eine Ordnungsstruktur beschreibt, wann Elemente miteinander verglichen werden können.
Zum Beispiel sind die reellen Zahlen mit der üblichen Kleiner gleich Beziehung geordnet.
Warum ist das wichtig?
Strukturen helfen dabei, verschiedene mathematische Objekte nach gemeinsamen Regeln zu untersuchen.
Dadurch kann man allgemeine Aussagen beweisen, die dann für viele verschiedene Beispiele gleichzeitig gelten.