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Analysis - Uneigentliche Integrale

Cauchyscher Hauptwert

Der Cauchysche Hauptwert ist nicht dasselbe wie ein uneigentliches Integral. Er ist eine symmetrische Grenzwertbetrachtung.

Uneigentliches Integral

Zwei getrennte Grenzwerte

Hat die Funktion bei cc eine Polstelle, dann wird links und rechts getrennt gerechnet.

∫abf(x) dx=lim⁑Ρ1β†’0+∫acβˆ’Ξ΅1f(x) dx+lim⁑Ρ2β†’0+∫c+Ξ΅2bf(x) dx\begin{aligned}&\int_a^b f(x)\,dx \\&= \lim_{\varepsilon_1 \to 0^+}\int_a^{c-\varepsilon_1} f(x)\,dx + \lim_{\varepsilon_2 \to 0^+}\int_{c+\varepsilon_2}^{b} f(x)\,dx\end{aligned}

Quintessenz:

Beide Grenzwerte mΓΌssen einzeln endlich existieren.

Cauchyscher Hauptwert

Ein symmetrischer Grenzwert

Beim Hauptwert wird um die kritische Stelle herum auf beiden Seiten gleich viel abgeschnitten.

PV⁑∫abf(x) dx=lim⁑Ρ→0+(∫acβˆ’Ξ΅f(x) dx+∫c+Ξ΅bf(x) dx)\begin{aligned}&\operatorname{PV}\int_a^b f(x)\,dx \\&= \lim_{\varepsilon \to 0^+}\left(\int_a^{c-\varepsilon} f(x)\,dx + \int_{c+\varepsilon}^{b} f(x)\,dx\right)\end{aligned}

Quintessenz:

Nur der symmetrische Grenzwert muss existieren und endlich sein.

Standardbeispiel

Beispiel: βˆ«βˆ’111x dx\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,dx

Die Funktion hat bei x=0x=0 eine Polstelle.

xy0-10-5-11510-5-115f(x) = 1/x

Uneigentliches Integral

βˆ«βˆ’111x dx\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,dx
=lim⁑Ρ1β†’0+βˆ«βˆ’1βˆ’Ξ΅11x dx+lim⁑Ρ2β†’0+∫Ρ211x dx= \lim_{\varepsilon_1 \to 0^+}\int_{-1}^{-\varepsilon_1}\frac{1}{x}\,dx + \lim_{\varepsilon_2 \to 0^+}\int_{\varepsilon_2}^{1}\frac{1}{x}\,dx
lim⁑Ρ1β†’0+βˆ«βˆ’1βˆ’Ξ΅11x dx=βˆ’βˆž\lim_{\varepsilon_1 \to 0^+}\int_{-1}^{-\varepsilon_1}\frac{1}{x}\,dx = -\infty
lim⁑Ρ2β†’0+∫Ρ211x dx=+∞\lim_{\varepsilon_2 \to 0^+}\int_{\varepsilon_2}^{1}\frac{1}{x}\,dx = +\infty

Ergebnis: Das uneigentliche Integral divergiert.

Cauchyscher Hauptwert

PVβ‘βˆ«βˆ’111x dx\operatorname{PV}\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,dx
=lim⁑Ρ→0+(βˆ«βˆ’1βˆ’Ξ΅1x dx+∫Ρ11x dx)= \lim_{\varepsilon \to 0^+}\left(\int_{-1}^{-\varepsilon}\frac{1}{x}\,dx + \int_{\varepsilon}^{1}\frac{1}{x}\,dx\right)
=lim⁑Ρ→0+(ln⁑(Ξ΅)βˆ’ln⁑(1)+ln⁑(1)βˆ’ln⁑(Ξ΅))= \lim_{\varepsilon \to 0^+}\left(\ln(\varepsilon) - \ln(1) + \ln(1) - \ln(\varepsilon)\right)
=0= 0

Ergebnis: Der Cauchysche Hauptwert existiert und ist 0.